第一章:命题逻辑
1-1 命题及其表示法
只有具有确定真值的陈述句才是命题,其余都不不是
一个命题,总是具有一个“值”,称为真值。真值只有“真”“假”两种
命题有两种类型:
- 一种是不能分解为更简单的陈述语句,称作原子命题
- 第二种类型是由联结词,标点符号和原子命题复合构成的命题,称作复合命题
一个命题标识符如表示确定的命题,就称为命题常量;如果命题变元可以表示任意命题,所以它不能确定真值,故命题变元不是命题
1-2 联结词
- 否定
ㄱP
P | ㄱP |
---|---|
T | F |
F | T |
- 合取
∧P
P | Q | P ∧ Q |
---|---|---|
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | F |
合取
∧
与 自然语言中的“与”的区别:P:我们去看电影
Q:房间里有十张桌子
P∧Q
:我们去看电影与 房间里有十张桌子自然语言:无意义
数理逻辑:只要 P Q 均有真值,那么
P∧Q
的真值也必确定
- 析取
∨P
P | Q | P ∨ Q |
---|---|---|
T | T | T |
T | F | T |
F | T | T |
F | F | F |
析取
∨
与 自然语言中的“与”的区别:① 今天晚上我在我家看电视或者去剧场看戏
② 他可能是100米或400米赛跑冠军
“或” 有两种:① “排斥或” ② ”可兼或“
自然语言:都有
数理逻辑:只有“可兼或”
- 条件
→
P→Q
读作:“如果P,那么Q” 或者 “若P则Q”
P | Q | P→Q |
---|---|---|
T | T | T |
T | F | F |
F | T | T |
F | F | T |
当且仅当 P 的真值为 T,Q 的真值为 F 时,P→Q
的真值为 F,否则 P→Q
的真值为 T
与自然语言的区别:
自然语言:只有因果联系的两件事才能用 “如果P,那么Q”
数理逻辑:只要两件事有确定的真值,就可以用 “如果P,那么Q”
- 双条件
⇄
读作:“P 当且仅当 Q”
P | Q | P ⇄ Q |
---|---|---|
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | T |
1-3 命题公式与翻译
命题公式:由命题变元用合适的联结词在规定的方式下组成。
翻译:汉语拆分融合为数理逻辑语言,可用 “真值表” 的方法
1-4 真值表与等价公式
- 给定两个命题公式 A 和 B,任意一组真值指派,A 和 B 的真值都相同,称 A 和 B 是等价的或逻辑相等。记作 A⇔B 。
- 如果 X 是合式公式 A 的一部分,且 X 本身也是一个合式公式,则称 X 为公式 A 的子公式
- 设 X 是合式公式 A 的子公式,若 X ⇔ Y,如果将 A 中的 X 用 Y 来置换,所得到的公式 B 与公式 A 等价,即 A ⇔ B。
1-5 重言式与蕴含式
重言式:永真公式
矛盾式:永假公式
蕴含式:当且仅当 P→Q是一个重言式时,我们称“P蕴含Q”,并记作 P⇒Q
定理:对任何两个重言式做合取或析取,仍然是一个重言式
定理:一个重言式,对同一分量都用任何合式公式置换,其结果仍为一重言式
定理:设 A、B为两个命题公式,A ⇔ B 当且仅当 P ⇄ Q 为一个重言式
定理:设任意两个命题公式,任意两个命题公式,P⇔Q的充分必要条件是 P⇒Q且Q⇒P
1-6 其他联结词
略
1-7 对偶与范式
对偶式:在给定的命题公式中,将联词 ∨ 换成 ∧ ,将 ∧ 换成 ∨ ,若有特殊变元 F 和 T 亦相互取代,所得公式 A* 称为 A 的对偶式,显然 A 也是 A* 的对偶式。